문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 게이지 장 (문단 편집) === 왜 게이지인가? === 많은 사람들이 전자기장의 게이지 변환을 처음 접했을 때 왜 이 변환의 이름이 "게이지" 변환인지 아리송할 것이다. 전자기장의 경우를 미리 살펴 보자. 스칼라 퍼텐셜 [math(\Phi)]와 벡터 퍼텐셜 [math(\mathbf{A})]가 있을 때 다음 변환(단, [math( \mathit{\Lambda} )]는 모든 점에서 2계 도함수가 연속인 함수이다) {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \Phi \to \Phi - \frac{\partial \mathit{\Lambda}}{\partial t},\,\,\,\,\, \mathbf{A} \to \mathbf{A} + \boldsymbol{\nabla} \mathit{\Lambda})]}}} 은 [math( \mathit{\Lambda} )]가 무엇이든 간에 물리가 안 변한다는 것을 배웠을 것이다. 이 변환을 가리켜 '''게이지 변환'''이라고 부르고, 전자기장의 경우 이 변환에도 물리가 안 바뀌는 것을 보고 '''게이지 불변성''' 혹은 '''게이지 대칭성'''이 있다고 말한다. 그런데 이걸 처음 본 사람들은 이게 뭐 어쨌다는 걸까 싶을 것이다. 그전에 왜 "게이지"라는 이름이 붙었는가? [* 당대 물리학자들은 기차를 타고 이동하는 경우가 많았고 그래서 기차의 철길 간격은 항상 균일하다는 점에서 영감을 받아 이론의 이름을 게이지 이론이라고 하였다. 증기기차를 타지 않는 우리 시대에서는 와닿지 않아서 무슨 의미인지 헷갈리는 것이지만, 당대 과학자들은 쉽게 이해할 수 있었다고 한다. 게이지 균일성이 있는 상태를 기차가 지나가도 철로의 게이지가 변하지 않는 것에 비유한 것이다.] 하지만 이 게이지 변환이 품는 의미는 보기보다 심오하다. 하나하나 살펴보자. 사전에서 게이지(gauge)를 찾아보면 '계측기' 정도로 번역되는 단어라는 것을 알 수 있다.[* 더 묘사하자면 펌프 같은 것에 달려 있고 바늘 하나가 돌아가면서 눈금을 가리키는 식으로 된 계측기를 게이지라고 부른다.] 저 변환이 계측기랑 무슨 관련이 있나 싶을 것이다. 이걸 이해하려면 단순한 상황에서 게이지 변환을 볼 필요가 있다. 자기장이 없고 전기장만 있는 경우를 생각해 보자. 이때 스칼라 퍼텐셜을 (그리고 회로 이론에서) 우리는 흔히 전위라고 표현한다. [math(V)]라고 많이들 표기하는 그것이다. 그리고 두 지점 간의 전위 차이를 가리켜 전위차라고 쓴다. 그런데 회로를 다뤄 본 사람들이라면 알겠지만 (고등학교 물리 시간에 졸지만 않았으면 알 수 있는 내용이다) 실제로 회로를 다룰 때 중요한 것은 전위가 아닌 전위차이다. 예컨대 가장 중요한 옴의 법칙 같은 경우, 전류는 어떤 전위에 비례하는 것이 아니라 저항 양단의 전위 차이에 비례한다는 것을 알 것이다. 좀 더 들어가 보자. 전압을 잴 때 우리는 전압계를 이용한다.[* 전압계의 눈금 표지판이 딱 위에서 말한 게이지와 비슷하게 생겼다.] 전압계를 쓸 때엔 전압계의 단자 중 한 쪽은 그라운드에 꽂고 다른 한쪽은 전위를 알고 싶은 지점에 꽂았었다. 여기서 주목할 점이 두 가지가 있다. 첫째, 그라운드가 어딘지는 별로 중요하지 않다는 것이다. 한번 정했을 때 바꾸지만 않는다면 맨 처음에 그라운드를 어디에 잡든 회로의 결과가 바뀌는 것은 전혀 없다. 단지 기록되는 전위만 바뀔 뿐. 그리고 맨 처음에 전압계의 눈금을 조금 돌려 놔도 사실 별 상관이 없다는 것이다. 돌려 놓고 또 돌리지만 않는다면 별 상관이 없다. 사실 이건 그라운드의 전위를 0이 아닌 다른 값(눈금 돌린 값)으로 잡는 것과 물리적으로 다른 것이 없다. 위에서 설명했듯이 실제로 물리적인 의미가 있는 것은 전위 간의 차이지 전위가 구체적으로 얼마냐가 아니기 때문이다. 이걸 가지고 좀 더 일반적인 경우를 살펴 보자. 전기장을 배웠다면 전기 퍼텐셜을 구할 때 기준점을 잡았다는 것을 배웠을 것이다. 예를 들어 점전하의 전기 퍼텐셜은 [math(V =(kq)/r)]로 흔히들 구했을텐데, 이때 무한히 먼 곳에서 전기 퍼텐셜이 0이도록 잡고 구한 것이 저 결과라는 것을 기억할 것이다. 그런데 사실 무한히 먼 곳에서 전기 퍼텐셜이 다른 값을 가지도록 해도 사실 변하는 건 없다. 실제로 그런 상수 차이는 전기장을 계산할 때 없어져 버리기 때문이다. 이 역시 마치 전기 퍼텐셜을 재는 계측기(전압계)의 눈금을 돌려 놓은 것과 그걸로 물리가 바뀌지 않는다는 것으로 연결된다. 계측기(게이지)의 눈금을 돌려도[* 전류계는 아니다.] 결과가 바뀌지 않는다는 사실은 측정하는 대상(전기 퍼텐셜)이 비록 유일하게 결정되지는 않지만 가능한 것들끼리 어떤 특정한 변환(눈금 돌리기 - 상수 더하기)이 존재하고 그 변환을 하여도 물리가 변하지 않는다는 것으로 흘러간다. 이 때문에 우리는 이러한 변환(눈금 돌리기 혹은 상수 더하기)을 가리켜 '''게이지 변환'''이라고 부르고 이러한 게이지 변환에도 물리가 변하지 않는 것을 보고 '''게이지 불변성'''이 있다고 말한다. 다른 경우에서의 대칭성과 마찬가지로 게이지 불변성 역시 물리 문제를 풀 때 적잖은 도움을 준다. 복잡한 3차원 역학 문제를 풀 때도 대칭성이 있으면 1차원 문제로도 줄일 수 있었던 것처럼 게이지 불변성 역시 편리함을 준다. 당장 점전하의 전기 퍼텐셜에 군더더기 상수가 안 붙어 있는 것만 봐도 그렇다. 회로를 다룰 때에도 그라운드를 어디에다 잡느냐가 식을 더 복잡하게 만들 수도 있고 더 간단하게 만들 수도 있는 것이다. 한 가지 더 짚고 가자. 정말 상수 더하기만 게이지 변환에 해달될까? 그 답은 전기장과 퍼텐셜의 관계에서 찾을 수 있다. 사실 물리적인 결과가 바뀌지 않으려면 퍼텐셜이 바뀌어도 전기장만 안 바뀌는 것으로 충분하기 때문이다.[* 여기서 양자역학적인 효과는 무시하자. 예컨대 Sakurai의 Quantum mechanics를 보라.][* 양자역학적인 효과를 고려하게 되면, 위에서 주어진 전자기 퍼텐셜의 게이지 변환이 실제 관측 가능한 차이를 만들어내기도 한다. 그 대표적인 예로 [[아로노프-봄 효과]](Aharanov-Bohm Effect)가 있다. 간단하게 설명하면, 벡터 퍼텐셜이 파동 함수의 위상차를 만들어낸다.] 퍼텐셜이 [math(\Phi)]로 주어졌을 때 전기장은 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \mathbf{E} = -\boldsymbol{\nabla} \Phi)]}}} 게이지 변환이 된 새로운 퍼텐셜을 [math(\Phi')]라 하자. 게이지 불변이 되려면 이 퍼텐셜에 의한 전기장이 전의 것과 같아야 한다. 즉, {{{#!wiki style="text-align: center" [math(-\boldsymbol{\nabla} \Phi = -\boldsymbol{\nabla} \Phi' )]}}} 따라서 [math(\boldsymbol{\nabla} (\Phi' - \Phi) = 0)]이어야 하고, 이는 곧 [math(f = \Phi' - \Phi)]가 위치에 대한 상수임을 말해 준다. 만약 [math(f)]가 시간 만에 대한 함수라면? 이런 것도 사실 충분히 가능하다. 심지어 지금 정적(static)인 상태를 다루는 것이라 해도 말이다. 그런데 가만 생각해 보면 [math(f)]가 시간에 대해 달라도 별 상관이 없다는 것을 말해 준다. 필요한 전위들을 동시에 측정한다면 사실상 [math(f)]는 상수일 테니 말이다. 그리고 사실 동시에 측정된 것들이 실질적인 의미를 가진다는 걸 생각하면 [math(f)]가 시간에 따라 변해도 게이지 변환이 맞다는 것을 짐작할 수 있다. 그리고 아래 서술될 내용들은 보면 알겠지만 "게이지(계측기)"와 별로 관련된 내용들이 아니다. 즉, (정)전위를 다루는 상황에서만 "게이지"란 단어의 의미가 사용되고 그 이후 전개에서는 계측기니 눈금이니 하는 것과 관련 없어 보이는 내용이 이어진다. 게이지 변환의 풀 버전을 처음 접한 사람들이 그 이름에 대해 의아해 할 만한 상황인 것이다. 하지만 이렇게 붙여진 이름은 차후 이론 내용이 어떻게 전개되든 상관 없이 그냥 쭉 사용된다. 이런 식으로 모티브 혹은 매우 기초적인 부분에서 유래된 이름이 그 후의 이론 전개 및 추상화가 어떻게 되든 관계 없이 계속 유지되는 경우를 물리에서든 수학에서든 종종 찾을 수 있다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기